Оператор Лапласа

Оператор Лапласа определяется выражением

и в декартовой системе координат описывается формулой

Найдем выражение для оператора Лапласа в криволинейной ортогональной системе координат. Для этого запишем градиент и дивергенцию в криволинейной системе координат

Подставляя эти выражения в оператор Лапласа, получим

Пример 1. Найти выражение для оператора Лапласа в цилиндрической системе координат.

Замечание 1. Оператор Лапласа в полярной системе координат определяется формулой

Пример 2. Найти выражение для оператора Лапласа в сферической системе координат.

Решение. Подставляя значения коэффициентов Ламе, получим

Уравнение Лапласа

Уравнением Лапласа называют уравнение вида.

Это уравнение называют уравнением эллиптического типа. Оно часто встречается в задачах, связанных с определением потенциала различных стационарных полей. В частности, задача определения поля температур, электрического потенциала, упругих напряжений и деформаций связана с решением уравнения Лапласа. Отметим, что в математической физике изучают также уравнения гиперболического и параболического типа.

Существует много различных методов решения уравнений эллиптического типа. Среди них можно выделить метод разделения переменных, метод функции источника, теорию потенциала, метод аналитических функций и много других. Рассмотрим несколько простейших задач, не связанных с использованием специальных методов.

Цилиндрическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей цилиндрической симметрией, т.е. не зависящей от полярного угла и переменной z. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в цилиндрической системе координат, имеет вид

Частные производные здесь заменены полными. Из этого уравнения следует

где и - произвольные постоянные, которые можно найти из граничных условий.

Сферическая симметрия. Найдем решение уравнения Лапласа для функции, обладающей сферической симметрией, т.е. не зависящей от углов и. В этом случае уравнение Лапласа, записанное в сферической системе координат, имеет вид

Нетрудно найти решение этого уравнения

Решение уравнения Пуассона рассмотрим на конкретных примерах.

Пример 1. Найти решение уравнения Пуассона внутри круга радиуса, если

Решение. Искомая функция обладает цилиндрической симметрией, поэтому запишем уравнение Пуассона в цилиндрической системе координат в виде

Решим это уравнение

градиент криволинейный ламе дифференциальный

Постоянные и найдем из граничного условия и условия ограниченности функции. Учитывая, что, получим. Из условия получим

Следовательно, имеем окончательный ответ

Любая часть системы управления, будь то регулятор, объект или датчик, имеет вход и выход. С помощью входов и выходов они взаимодействуют с другими элементами системы и с внешней средой. При воздействии входного сигнала на элемент системы, в этом элементе происходят какие-то внутренние изменения состояния, которые приводят к изменению выходного сигнала. То есть элемент системы представляет собой некоторую функцию зависимости y от x. Это можно изобразить на рисунке 1.

Рисунок 1 – элемент системы управления с входом и выходом

Определение функции F(x) и есть, по сути, основная задача, решаемая в рамках теории автоматического управления. Знание F(x) объекта поможет составить правильный алгоритм управления им, F(x) датчика определит характер обратной связи, а синтез F(x) сделает систему по-настоящему работоспособной. Саму F также иногда называют оператором, поскольку она оперирует входным сигналом.

Базовыми операциями в ТАУ являются интегрирование и дифференцирование. Допустим, сигнал нарастает в течение некоторого времени, что зачастую очень характерно для сигналов в системах управления, тогда для описания этого процесса его следует «собрать» интегралом во всем временном промежутке:

Дифференцирование также чрезвычайно полезно в теории автоматического управления. Оператор дифференцирования в противовес оператору интегрирования берет производную от входного сигнала, то есть:

Здесь зарождается очень важное понятие в ТАУ – оператор Лапласа p, который призван заменить запись d/dt, иначе говоря

Также в некоторых источниках этот оператор представляется произведением мнимой единицы на угловую частоту, то есть p=jω. Но мы пока не будем трогать частотный диапазон, ибо это обширная тема и просто запомним два простейших правила:

Как же выглядит интегрирование и дифференцирование сигнала? Интегрирование сигнала скачкообразной формы показано на рисунке 2а. Здесь все просто, сигнал будет инкрементироваться на каждом шаге интегрирования, пока не достигнет за время t1 изначально заданного значения. А что если продифференцировать такой сигнал? Ни в коем случае! Это угроза безопасности Вселенной, такой сигнал пробьет небесный свод и устремится в бесконечность к звездам (рисунок 2б)! Короче говоря, математика гласит, что производная мгновенно измененного сигнала равна бесконечности, а поскольку бесконечность является идеальной и недостижимой величиной, то в реальном мире такая операция не имеет смысла. Иначе говорят, что такая операция физически не реализуема. В общем, p в чистом виде не применяется, а используется только в составе более сложных выражений, где эта p будет каким-то образом компенсирована.

Рисунок 2 – интегрирование и дифференцирование сигнала

Теперь, когда мы знаем про соотношение выходного сигнала к входному и про оператор Лапласа, мы можем перейти к такому понятию как передаточная функция. По сути, передаточная функция, записываемая как W(p), представляет собой отношение выход/вход. Система, записанная через передаточные функции, более наглядна, и в отношении нее можно применять более-менее простые методы анализа и синтеза. Но о них позже, а сейчас рассмотрим на несложном примере, как же получаются такие функции.

Предположим у нас имеется звено, процессы происходящие в котором описываются следующим уравнением:

Слева выходная величина (и ее производная), справа входная (в сложных выражениях там тоже могут быть производные). T – какая-то постоянная времени, K – какой-то коэффициент. Теперь производим замену на оператор Лапласа:

Как было выше отмечено, передаточная функция равна отношению выход/вход:

Вот так мы получили передаточную функцию инерционного звена первого порядка. В ТАУ имеется несколько типовых звеньев (включая это), из которых можно составить любую систему, любое звено какой угодно сложности. Сейчас только отметим, что передаточные функции в зависимости от порядков числителя и знаменателя могут быть правильными и неправильными. Вышеприведенная функция является правильной, также говорят строго правильной, потому что порядок знаменателя больше порядка числителя. И это хорошо, она реализуема. Ниже приведена еще пара функций.

Функция типа 1 также правильная, но не строго. Степень числителя равна степени знаменателя, но ничего страшного, она тоже реализуема. А вот функция вроде 2 не реализуема в силу наличия квадрата в числителе и отсутствия квадрата или более высокой степени в знаменателе, то есть в данном случае будет какая-то некомпенсированная производная. Таким образом, за порядком в передаточных функциях надо строго следить!

Рассмотрели три основные операции векторного анализа: вычисление gradtx для скалярного поля а и rot а для векторного поля а = а(ж, у, г). Эти операции могут быть записаны в более простом виде с помощью символического оператора V («набла»): Оператор V (оператор Гамильтона) обладает как дифференциальными, так и вектор- ными свойствами. Формальное умножение, например, умножение ^ на функцию и(х, у), будем понимать как частное дифференцирование: В рамках векторной алгебры формальные операции над оператором V будем проводить так, как если бы он был вектором. Используя этот формализм, получим следующие основные формулы: 1. Если - скалярная дифференцируемая функция, то по правилу умножения вектора на скаляр получим где P, Q, R - дифференцируемые функции, то по формуле для нахождения скалярного произведения получим Оператор Гамильтона Дифференциальные операции второго порядка Оператор Лапласа Понятие о криволинейных координатах Сферические координаты 3. Вычисляя векторное произведение , получим Для постоянной функции и = с получим а для постоянного вектора с будем иметь Из распределительного свойства для скалярного и векторного произведений получаем Замечание 1. Формулы (5) и (6) можно трактовать тамке как проявление дифференциальных свойств оператора «набла» (V - линейный дифференциальный оператор). Условились считал., что оператор V действует на все величины, написанные за ним. В этом смысле, например, - скалярный дифференциальный оператор. Применяя оператор V к произведению каких-либо величин, надо иметь в виду обычное правило дифференцирования произведения. Пример 1. Доказать, что По формуле (2) с учетом замечания 1 получаем или Чтобы отметить тот факт, что «набл а» не действует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом с («const»), который в окончательном результате опускается. Пример 2. Пусть u(xty,z) - скалярная дифференцируемая функция, а(х,у,г) - векторная дифференцируемая функция. Доказать, что 4 Перепишем левую часть (8) в символическом виде Учитывая дифференциальный характер оператора V, получаем. Так как ие - постоянный скаляр, то его можно вынести за знак скалярного произведения, так что а (на последнем шаге мы опустили индекс е). В выражении (V, иас) оператор V действует только на скалярную функцию и, поэтому В итоге получаем Замечай ие 2. Используя формализм действа с оператором V как с вектором, надо помнить, что V не является обычным вектором - он не им«ет ни длины, ни направления, так что. например, вектор , где $H\_i\backslash$ - коэффициенты Ламе .

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой $\backslash \; r=0$:

$\backslash Delta\; f$

= {1 \over r} {\partial \over \partial r}

\left(r {\partial f \over \partial r} \right)

+ {\partial^2f \over \partial z^2} + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

$\backslash Delta\; f$

= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}

\left(r^2 {\partial f \over \partial r} \right)

+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

$\backslash Delta\; f$

= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}

\left(rf \right)

+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}

\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)

+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

В случае если $\backslash \; f=f(r)$ в n -мерном пространстве:

$\backslash Delta\; f\; =\; \{d^2\; f\backslash over\; dr^2\}\; +\; \{n-1\; \backslash over\; r\; \}\; \{df\backslash over\; dr\}.$

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} \left[ \frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} \left(\sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) + \frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} \left(\tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] + \frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

$\backslash Delta\; F(u,v,z)\; =\; \backslash frac\{1\}\{c^2(u^2+v^2)\}\; \backslash left[\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; F\; \}\{\backslash partial\; u^2\}+\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; F\; \}\{\backslash partial\; v^2\}\backslash right]\; +\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; F\; \}\{\backslash partial\; z^2\}.$

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии $X$ задана локальная система координат и $g\_\{ij\}$ - риманов метрический тензор на $X$, то есть метрика имеет вид

$ds^2\; =\backslash sum^n\_\{i,j=1\}g\_\{ij\}\; dx^idx^j$ .

Обозначим через $g^\{ij\}$ элементы матрицы $(g\_\{ij\})^\{-1\}$ и

$g\; =\; \backslash operatorname\{det\}\; g\_\{ij\}\; =\; (\backslash operatorname\{det\}\; g^\{ij\})^\{-1\}$.

Дивергенция векторного поля $F$, заданного координатами $F^i$ (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка $\backslash sum\_i\; F^i\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\}$) на многообразии X вычисляется по формуле

$\backslash operatorname\{div\}\; F\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\backslash sum^n\_\{i=1\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\}(\backslash sqrt\{g\}F^i)$,

а компоненты градиента функции f - по формуле

$(\backslash nabla\; f)^j\; =\backslash sum^n\_\{i=1\}g^\{ij\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x^i\}.$

Оператор Лапласа - Бельтрами на $X$:

$\backslash Delta\; f\; =\; \backslash operatorname\{div\}\; (\backslash nabla\; f)=\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{g\}\}\backslash sum^n\_\{i=1\}\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x^i\}\backslash Big(\backslash sqrt\{g\}\; \backslash sum^n\_\{k=1\}g^\{ik\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x^k\}\backslash Big).$

Значение $\backslash Delta\; f$ является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа , Пуассона и волновое уравнение . В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике , во многих уравнениях физики сплошных сред , а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения

• Оператор Д’Аламбера - обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений . Включает в себя вторую производную по времени.
• Векторный оператор Лапласа - обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.

См. также

Напишите отзыв о статье "Оператор Лапласа"

Литература

Ссылки

Отрывок, характеризующий Оператор Лапласа

Женитьба на богатой невесте в Петербурге не удалась Борису и он с этой же целью приехал в Москву. В Москве Борис находился в нерешительности между двумя самыми богатыми невестами – Жюли и княжной Марьей. Хотя княжна Марья, несмотря на свою некрасивость, и казалась ему привлекательнее Жюли, ему почему то неловко было ухаживать за Болконской. В последнее свое свиданье с ней, в именины старого князя, на все его попытки заговорить с ней о чувствах, она отвечала ему невпопад и очевидно не слушала его.
Жюли, напротив, хотя и особенным, одной ей свойственным способом, но охотно принимала его ухаживанье.
Жюли было 27 лет. После смерти своих братьев, она стала очень богата. Она была теперь совершенно некрасива; но думала, что она не только так же хороша, но еще гораздо больше привлекательна, чем была прежде. В этом заблуждении поддерживало ее то, что во первых она стала очень богатой невестой, а во вторых то, что чем старее она становилась, тем она была безопаснее для мужчин, тем свободнее было мужчинам обращаться с нею и, не принимая на себя никаких обязательств, пользоваться ее ужинами, вечерами и оживленным обществом, собиравшимся у нее. Мужчина, который десять лет назад побоялся бы ездить каждый день в дом, где была 17 ти летняя барышня, чтобы не компрометировать ее и не связать себя, теперь ездил к ней смело каждый день и обращался с ней не как с барышней невестой, а как с знакомой, не имеющей пола.
Дом Карагиных был в эту зиму в Москве самым приятным и гостеприимным домом. Кроме званых вечеров и обедов, каждый день у Карагиных собиралось большое общество, в особенности мужчин, ужинающих в 12 м часу ночи и засиживающихся до 3 го часу. Не было бала, гулянья, театра, который бы пропускала Жюли. Туалеты ее были всегда самые модные. Но, несмотря на это, Жюли казалась разочарована во всем, говорила всякому, что она не верит ни в дружбу, ни в любовь, ни в какие радости жизни, и ожидает успокоения только там. Она усвоила себе тон девушки, понесшей великое разочарованье, девушки, как будто потерявшей любимого человека или жестоко обманутой им. Хотя ничего подобного с ней не случилось, на нее смотрели, как на такую, и сама она даже верила, что она много пострадала в жизни. Эта меланхолия, не мешавшая ей веселиться, не мешала бывавшим у нее молодым людям приятно проводить время. Каждый гость, приезжая к ним, отдавал свой долг меланхолическому настроению хозяйки и потом занимался и светскими разговорами, и танцами, и умственными играми, и турнирами буриме, которые были в моде у Карагиных. Только некоторые молодые люди, в числе которых был и Борис, более углублялись в меланхолическое настроение Жюли, и с этими молодыми людьми она имела более продолжительные и уединенные разговоры о тщете всего мирского, и им открывала свои альбомы, исписанные грустными изображениями, изречениями и стихами.

Оператор Лапласа - дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом. Функции F он ставит в соответствие функцию

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.

Градиент-- вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма». Величина (модуль) вектора градиента равна скорости роста в этом направлении. Для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами, где - некоторая скалярная функция координат x,y,z.

Если - функция n переменных то ее градиентом называется n-мерный вектор

Компоненты которого равны частным производным по всем ее аргументам. Градиент обозначается grad, или с использованием оператора набла,

Из определения градиента следует, что:

Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx -- это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе.

Таким образом, выражение (вообще говоря -- для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

Или опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

Дивергенция -- дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее -- насколько расходятся входящий и исходящий поток).

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, всё будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция -- это дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность малой окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, применённый к полю F, обозначают как или

Определение дивергенции выглядит так:

где ФF -- поток векторного поля F через сферическую поверхность площадью S, ограничивающую объём V. Ещё более общим, а потому удобным в применении, является определение, когда форма области с поверхностью S и объёмом V допускается любой. Единственным требованием является её нахождение внутри сферы радиусом, стремящимся к нулю. Это определение, в отличие от приводимого ниже, не привязано к определённым координатам, например, к декартовым, что может представлять дополнительное удобство в определённых случаях. (Например, если выбирать окрестность в форме куба или параллелепипеда, легко получаются формулы для декартовых координат, приведённые в следующем параграфе).

таким образом значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля gradF в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя.