Таблица истинности – таблица содержащая все возможные комбинации входных переменных и соответствующее им значения на выходе.
Таблица истинности содержит 2 n строк, где n – число входных переменных, и n+m – столбцы, где m – выходные переменные.
Инструкция
. При вводе с клавиатуры используйте следующие обозначения:
Например, логическое выражение abc+ab~c+a~bc необходимо ввести так: a*b*c+a*b=c+a=b*c
Для ввода данных в виде логической схемы используйте этот сервис .
Правила ввода логической функции
- Вместо символа v (дизъюнкция, ИЛИ) используйте знак + .
- Перед логической функцией не надо указывать обозначение функции. Например, вместо F(x,y)=(x|y)=(x^y) необходимо ввести просто (x|y)=(x^y) .
- Максимальное количество переменных равно 10 .
Проектирование и анализ логических схем ЭВМ ведётся с помощью специального раздела математики - алгебры логики. В алгебре логики можно выделить три основные логические функции: "НЕ" (отрицание), "И" (конъюнкция), "ИЛИ" (дизъюнкция).
Для создания любого логического устройства необходимо определить зависимость каждой из выходных переменных от действующих входных переменных такая зависимость называется переключательной функцией или функцией алгебры логики.
Функция алгебры логики называется полностью определённой если заданы все 2 n её значения, где n – число выходных переменных.
Если определены не все значения, функция называется частично определённой.
Устройство называется логическим, если его состояние описывается с помощью функции алгебры логики.
Для представления функции алгебры логики используется следующие способы:
- словесное описание – это форма, которая используется на начальном этапе проектирования имеет условное представление.
- описание функции алгебры логики в виде таблицы истинности.
- описание функции алгебры логики в виде алгебраического выражения: используется две алгебраические формы ФАЛ:
а) ДНФ – дизъюнктивная нормальная форма – это логическая сумма элементарных логических произведений. ДНФ получается из таблицы истинности по следующему алгоритму или правилу:
1) в таблице выбираются те строки переменных для которых функция на выходе =1 .
2) для каждой строки переменных записывается логическое произведение; причём переменные =0 записываются с инверсией.
3) полученное произведение логически суммируется.
Fднф= X 1 *Х 2 *Х 3 ∨ Х 1 x 2 Х 3 ∨ Х 1 Х 2 x 3 ∨ Х 1 Х 2 Х 3
ДНФ называется совершенной, если все переменные имеют одинаковый ранг или порядок, т.е. в каждое произведение обязательно должны включаться все переменные в прямом или инверсном виде.
б) КНФ – конъюнктивная нормальна форма – это логическое произведение элементарных логических сумм.
КНФ может быть получена из таблицы истинности по следующему алгоритму:
1) выбираем наборы переменных для которых функция на выходе =0
2) для каждого набора переменных записываем элементарную логическую сумму, причём переменные =1 записываются с инверсией.
3) логически перемножаются полученные суммы.
Fскнф=(X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3) ∧ (X 1 V X 2 V X 3)
КНФ называется совершенной , если все переменные имеют одинаковый ранг.
Рисунок1- Схема логического устройства
Все операции алгебры логики определяются таблицами истинности значений. Таблица истинности определяет результат выполнения операции для всех возможны х логических значений исходных высказываний. Количество вариантов, отражающих результат применения операций, будет зависеть от количества высказываний в логическом выражении. Если число высказываний в логическом выражении N, то таблица истинности будет содержать 2 N строк, так как существует 2 N различных комбинаций возможных значений аргументов.
Операция НЕ - логическое отрицание (инверсия)
Логическая операция НЕ применяется к одному аргументу, в качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции НЕ является следующее:- если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
- если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.
не А, Ā, not A, ¬А, !A
Результат операции отрицания НЕ определяется следующей таблицей истинности:
| A | не А |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Результат операции отрицания истинен, когда исходное высказывание ложно, и наоборот.
Операция ИЛИ - логическое сложение (дизъюнкция, объединение)
Логическая операция ИЛИ выполняет функцию объединения двух высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами. Результатом операции ИЛИ является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.Применяемые обозначения: А или В, А V В, A or B, A||B.
Результат операции ИЛИ определяется следующей таблицей истинности:
Результат операции ИЛИ истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В - ложны.
Операция И - логическое умножение (конъюнкция)
Логическая операция И выполняет функцию пересечения двух высказываний (аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное логическое выражение. Результатом операции И является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.Применяемые обозначения: А и В, А Λ В, A & B, A and B.
Результат операции И определяется следующей таблицей истинности:
| A | B | А и B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Результат операции И истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.
Операция «ЕСЛИ-ТО» - логическое следование (импликация)
Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе - следствием из этого условия.Применяемые обозначения:
если А, то В; А влечет В; if A then В; А→ В.
Таблица истинности:
| A | B | А → B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Результат операции следования (импликации) ложен только тогда, когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.
Операция «А тогда и только тогда, когда В» (эквивалентность, равнозначность)
Применяемое обозначение: А ↔ В, А ~ В.Таблица истинности:
| A | B | А↔B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Операция «Сложение по модулю 2» (XOR, исключающее или, строгая дизъюнкция)
Применяемое обозначение: А XOR В, А ⊕ В.Таблица истинности:
| A | B | А⊕B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В одновременно истинны или одновременно ложны.
Приоритет логических операций
- Действия в скобках
- Инверсия
- Конъюнкция (&)
- Дизъюнкция (V), Исключающее ИЛИ (XOR), сумма по модулю 2
- Импликация (→)
- Эквивалентность (↔)
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма формулы (СДНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций, обладающая свойствами:- Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
- Все логические слагаемые формулы различны.
- Ни одно логическое слагаемое не содержит переменную и её отрицание.
- Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.
Для каждой функции СДНФ и СКНФ определены единственным образом с точностью до перестановки.
Совершенная конъюнктивная нормальная форма
Совершенная конъюнктивная нормальная форма формулы (СКНФ) это равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций, удовлетворяющая свойствам:- Все элементарные дизъюнкции содержат все переменные, входящие в функцию F(x 1 ,x 2 ,...x n).
- Все элементарные дизъюнкции различны.
- Каждая элементарная дизъюнкция содержит переменную один раз.
- Ни одна элементарная дизъюнкция не содержит переменную и её отрицание.
Азино 777 самое огненное онлайн казино России привлекает щедрыми бонусами, огромным ассортиментом развлечений и большим выбором платежных систем. Работая с 2010 года, сайт стал местом отдыха и источником заработка тысячи игроков. Убедиться в привлекательности казино легко, достаточно запустить игровые автоматы в демонстрационном режиме без регистрации бесплатно.
Информация о создании Азино777
Официальный сайт Azino777 с известным в народе названием Три топора выполнен в ярких цветах. На темном фоне выделяются оранжевые языки пламени и баннеры с актуальной информацией. Многочисленные бонусные предложения отображаются на всплывающих экранах, что позволяет клиентам быстро узнавать о самом интересном. Пользователи могут выбрать отображение на русском и английском языке.
Крупная компания Victory777 является владельцем казино Azino777, которое осуществляет деятельность в соответствии с лицензией Кюрасао. Азино777 официальный сайт предлагает посетителям ознакомиться с копиями документов, разрешающих игорную деятельность, по иконке Curacao eGaming, расположенной на главной странице.
Используя софты ведущих разработчиков, заведение не требует скачивания дополнительных программ, позволяя развлекаться в браузере.
Регистрация на портале происходит за несколько минут. Для оформления требуются минимальные личные данные и адрес электронной почты. Развлекаться на Azino777 можно с 18 лет.
Лучшие игры в Azino777
Такие производители игр, как EGT, Amatic, Novomatic, Aristocrat или Igrosoft не нуждаются в представлении. Вся их продукция отличается высоким качеством и надежностью. Официальный сайт Азино 777 предлагает развлекаться не только на слотах этих разработчиков, но и в видео покер, блекджек и рулетку.
Есть возможность найти нужную игрушку, настроив фильтры по названию, бренду, новизне, жанру и другим характеристикам.
Присутствуют модели с джекпотами и игры с реальными дилерами. С настоящими крупье можно сыграть в рулетку, блекджек или покер. В отличие от других забав, развлечения с живыми крупье доступны только при игре на деньги.
Для постоянных клиентов на сайте Азино777 регулярно проводятся турниры с щедрыми призами. Тематика и условия состязаний отображаются в специальном разделе сайта.
Урок информатики 9 классе
Тема: Понятие, суждение, умозаключение. Понятия «истина» и «ложь».
Тема: Понятия «истина» и «ложь»
Цели:
познакомить учащихся с понятиями «истинное и ложное высказывание»;
учить определять, является ли высказывание истинным с точки зрения объективной действительности;
Педагогические задачи урока:
развивать логическое мышление, наблюдательность, речь;
воспитывать умение работать в коллективе, с уважением относиться к мнению одноклассников.
Требования к уровню освоения учебного материала после завершения урока:
знать, как люди добывают «истину»;
уметь оценивать истинность и исправлять его, если оно ложно;
уметь приводить примеры, как истинное высказывание со временем может «стать» ложным.
Ключевые понятия: понятия «истина», «ложь».
Характеристика урока:
форма организации : эвристическая беседа с опорой на знания и опыт учащихся, фронтальная работа;
тип урока : комбинированный (формирование новых знаний на основе актуализации имеющегося житейского опыта и знаний);
стратегия : анализ имеющихся знаний с выходом на новый уровень осмысления истинных и ложных высказываний.
Материальное обеспечение урока : учебник, демонстрационный ПК.
Примерный план урока:
Организационный момент (1-2 мин).
Изучение новой темы (10-12)
Первичное закрепление (9-12мин).
Физкультминутка (2-3 мин).
Компьютерный практикум (10-12 мин).
Обобщение и подведение итогов (3 мин).
Комментарий учителя к домашнему заданию (2-3 мин).
Ход урока
Организация учащихся на работу.
Девиз урока: «Считай несчастным тот день и тот час, в который ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию».
Ребята, у нас с вами интересная тема, но я должна быть уверена, что вы готовы её изучать.
II . Изучение новой темы.
Подготовительная работа.
Игра «Истина – ложь»
Подберите синоним к слову «правда», а теперь к слову «неправда».
Новые знания будет трудно добывать и осваивать без умения быстро и верно отвечать на поставленные вопросы, поэтому начнём урок с игры «Истина – ложь»
Я буду высказывать некоторые мысли, если вы верите мне, то поднимите карточку «И», если нет, то карточку «Л».
Все крокодилы летают.
Компьютер – помощник человека при счёте.
10 делится на 3 без остатка.
Телефон служит средством связи.
Наша школа находится в 29 микрорайоне.
Сейчас у нас не урок информатики.
Город Темрюе – столица Краснодарского края.
В городе все школы четырёхэтажные.
Вы учащиеся 4-ой школы и четвероклассники.
Введение понятий «ложное, истинное высказывание»
Назовите высказывания, которым вы поверили. Почему? (Потому что это соответствует действительности, это правда)
Такие высказывания называются истинными , то есть правдивыми, соответствующими действительности.
Как можно назвать высказывания, которые вы посчитали неверными?
Такие высказывания являются ложными .
Запомни! Истина – это то, что соответствует действительности.
Ложь – то, что действительности не соответствует.
Закрепление материала.
Игра «Кто больше?»
Чтобы проверить насколько вы поняли новы материал, я предлагаю вам игру-соревнование «Кто больше?»
Правила игры следующие: класс делится на две команды «Истина» и «Ложь». Соответственно ребята из команды «Истина» приводят примеры истинных высказываний, а ребята из команды «Ложь» ложных высказываний.
Молодцы! Вы великолепно справились с заданием. Как вы думаете, почему в нашем соревновании нет победителей и побеждённых?
Нас окружает такое огромное количество объектов, а вы очень наблюдательны, внимательны и любопытны, что и помогло вам успешно справиться с заданием.
2) Работа по учебнику.
Чтение учебника стр. 82-85
Фронтальный опрос.
Всегда ли легко определить, когда то или иное высказывание истинное? (нет, иногда не хватает знаний и опыта)
Какие действия должен произвести человек, чтобы добыть истину? (наблюдать, сравнивать, размышлять, вычислять, измерять, производить исследования)
Что является результатом размышления? (устное высказывание или высказывание в виде текста, рисунка, числа, схемы, формулы)
Приведите примеры из жизни, когда ложное высказывание становится истинным, когда люди узнают что-то новое или наоборот.
Физминутка.
Игра «Делай наоборот»
Урок мы начали с подбора синонимов, а сейчас я предлагаю вам подобрать антонимы, причём устно.
Я буду произносить высказывания-действия, а вы будете делать всё наоборот.
Сидите.
Не прыгайте.
Не стойте.
Не поднимайте руки.
Плачьте.
Не топайте.
Молчите.
Не приседайте.
Не садитесь.
Не слушайте.
Работа в тетрадях.
№ 1. Вставь пропущенные слова:
Понятия «истина» и « ложь » - это несовместимые понятия.
Истина не всегда «лежит» на поверхности.
Люди добывают истину , когда наблюдают, исследуют предметы и явления, думают , вычисляют, измеряют и так далее.
Высказывание может быть истинным или ложным .
Истина – это то, что соответствует действительности.
Ложь – то, что действительности не соответствует.
№ 5. Обработай графическую и текстовую информацию и укажи истинные это суждения или ложные, выделив нужную букву.
| На рисунке древний человек | |||
| Человек читает книгу | |||
| Информация хранится на бумажном носителе | |||
| На камне изображена сцена охоты |
| Все фигуры имеют углы | |||
| Все фигуры являются прямоугольниками | |||
| Две фигуры – прямоугольники | |||
| В верхнем левом углу изображен круг |
№ 6. А) Рассмотри схему.
«дерево»
«клён»
«ель»
«сосна»
«дуб»
Придумай обозначения слов и заполни диаграмму
Логика широко используется не только в жизни, но и в реализации работы цифровой техники, в том числе и компьютеров. Цифровая техника содержит так называемые логические элементы, которые реализуют те или иные логические операции.
В логике используются простые и составные логические высказывания (повествовательные утверждения), которые могут быть истинными (1 ) или ложными (0 ).
Пример простых высказываний:
- "Москва - столица России" (1)
- "Дважды два - три" (0)
- "Здорово!" (не является высказыванием)
Для объединения нескольких простых высказываний в одно составное используют логические операции. Существуют три базовые логические операции: И, ИЛИ, НЕ.
Порядок операций:
- действия в скобках, операции сравнения (<, ≤, >, ≥, =, ≠)
Рассмотрим каждую из трех операций отдельно.
1. Операция НЕ меняет значение логического высказывания на противоположное. Эта операция носит также названия "инверсия", "логическое отрицание". Знак операции: ¬
Таблица истинности:
| А | НЕ А |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
2. Операция И для составного высказывания дает истину только тогда, когда истинны все входящие простых высказывания. Данную операцию можно также называть как "логическое умножение" или "конъюнкция". Знак операции: , & , /\
Таблица истинности:
| A | B | A И B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
3. Операция ИЛИ для составного высказывания дает истину тогда, когда истинно хотя бы одно любое входящее простое высказывание. "Логическое сложение", "дизъюнкция". Знак операции: + , v
| A | B | A ИЛИ B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Примеры решения задач
Пример 1.
Для какого из приведённых чисел ложно высказывание:
НЕ
(число > 50) ИЛИ
(число чётное)?
1) 9 2) 56 3) 123 4) 8
Решение. Сначала выполняем сравнения в скобках, затем операция НЕ, в последнюю очередь - операция ИЛИ.
1) Подставим число 9 в выражение:
НЕ
(9 > 50) ИЛИ
(9 чётное)
НЕ
(ложь) ИЛИ
(ложь) = истина ИЛИ
ложь = истина
9 нам не подходит, так как по условию мы должны получить ложь.
2) Подставим число 56 в выражение:
НЕ
(56 > 50) ИЛИ
(56 чётное)
НЕ
(истина) ИЛИ
(истина) = ложь ИЛИ
истина = истина
56 тоже не подходит.
3) Подставим 123:
НЕ
(123 > 50) ИЛИ
(123 чётное)
НЕ
(истина) ИЛИ
(ложь) = ложь ИЛИ
ложь = ложь
Число 123 подошло.
Эту задачу можно было решить и по-другому:
НЕ
(число > 50) ИЛИ
(число чётное)
Нам надо получить ложное значение. Мы видим, что операция ИЛИ будет выполняться в последнюю очередь. Операция ИЛИ даст ложь, когда оба выражения НЕ(число) и (число чётное) будут ложны.
Так как условие (число чётное) должно быть равно ложному значению, то сразу отвергаем варианты с числами 56, 8.
Итак, можно решать прямой подстановкой, что долго и может дать ошибку при вычислении выражения; или же можно решать задачу быстро, проанализировав все простые условия.
Ответ: 3)
Пример 2
Для какого из приведённых чисел истинно высказывание:
НЕ (Первая цифра чётная) И НЕ (Последняя цифра нечётная)?
1) 6843 2) 4562 3) 3561 4) 1234
Сначала выполняем сравнения в скобках, затем операции НЕ над скобками, в последнюю очередь - операция И. Все это выражение должно принимать истинное значение.
Так как операция НЕ меняет смысл высказывания на противоположный, мы может переписать это сложное выражение так:
(Первая цифра нечётная) И (Последняя цифра чётная) = истина
Как известно, логическое умножение И дает истину только тогда, когда истинны все простые высказывания. Таким образом, оба условия должны быть истинными:
(Первая цифра нечётная) = истина (Последняя цифра чётная) = истина
Как видно, подходит только число 1234
Ответ: 4)
Пример 3
Для какого из приведённых имён истинно
высказывание:
НЕ
(Первая буква гласная) И
(Количество букв > 5)?
1) Иван 2) Николай 3) Семён 4) Илларион
Перепишем выражение:
(Первая буква не гласная)
И
(Количество букв > 5) = истина
(Первая буква согласная)
И
(Количество букв > 5) = истина